Dlaczego OpenAI nie może szczerze cieszyć się z efektów próby rozwiązania milenijnego problemu równań Naviera-Stokesa.
OpenAI ogłosiło 8 września na swojej stronie, że ich wewnętrzny, nieopublikowany dotąd model AI w ciągu 88 godzin wygenerował dowód na powstawanie osobliwości w skończonym czasie („finite-time blow-up”) dla równań Naviera-Stokesa. Do osiągnięcia tego wyniku wykorzystano zaawansowany system wieloagentowy liczący w szczytowym momencie aż 10 000 równoległych agentów dla samego problemu Naviera-Stokesa oraz model GPT-6 Astra do formalizacji i weryfikacji logicznej w języku Lean.
Wynik ten ogłoszono zaledwie kilka godzin po tym, jak prof. Tristan Buckmaster z Uniwersytetu Nowojorskiego (NYU) oraz Levent Alpöge z firmy Anthropic poinformowali o rozwiązaniu istotnych problemów stanowiących kamienie milowe na drodze do Naviera-Stokesa. Rzekomy sukces OpenAI został jednak natychmiast zakwestionowany przez oficjalne oświadczenie opublikowane przez prof. Buckmastera, w którym badacz opisał kulisy trwających od roku prywatnych prac z wykorzystaniem narzędzia Codex oraz wyjawił szokujący przebieg bezpośrednich rozmów i nacisków ze strony przedstawicieli OpenAI z ostatnich kilku dni przed ogłoszeniem rozwiązania problemu Naviera-Stokesa.
Czym się różnią stanowiska?
Stanowisko OpenAI sprowadza się do kategorycznego zaprzeczenia, jakoby ich badacze lub agenci AI bezpośrednio przeszukiwali prywatne prompty, sesje czy szkice Buckmastera i Alpögego w narzędziu Codex przed ich publicznym udostępnieniem. Przedstawiciele firmy podkreślają, że uruchomienie masowej ewaluacji na problemach milenijnych nastąpiło po doniesieniach z początku września, a przedstawiony przez nich dowód różni się technicznie od prac matematyków. Firma przyznała jednak publicznie, że nie może całkowicie wykluczyć, iż zanonimizowane dane z użytkowania produktów pomogły w ulepszeniu modeli w procesie treningowym, a także zaznaczyła, że nie zamierza ubiegać się o Nagrodę Millenijną.
Z kolei z perspektywy Tristana Buckmastera i krytyków OpenAI kluczowe jest to, że OpenAI zaatakowało problem specyficzną, niszową drogą opartą na gładkiej sile zewnętrznej, odpowiadającą wariantom C i D sformułowania Feffermana. Ponieważ badacze rozwijali dokładnie tę ścieżkę w środowisku Codex, za mało prawdopodobne uznają, że model OpenAI samodzielnie i bez wcześniejszego impulsu trafił w ten sam wąski kierunek tuż po przecieku informacji o ich postępach.
Istota problemu milenijnego Naviera-Stokesa
Wróćmy jednak na chwilę do samego przedmiotu sporu. Równania Naviera-Stokesa od blisko dwóch wieków opisują ruch płynów w przestrzeni. Przy ich przy ich pomocy można opisać ruch powietrze wokół skrzydła samolotu czy wody opływającej kadłub łodzi.
Jedno z siedmiu pytań ogłoszonych w 2000 roku przez Clay Mathematics Institute zmierza do ustalenia, czy dla gładkich danych początkowych rozwiązania zawsze pozostają gładkie, czy też istnieją sytuacje załamania.
Matematyczna gładkość oznacza nieskończoną różniczkowalność, czyli brak jakichkolwiek załamań, skoków czy kantów, i odnosi się zarówno do wejściowej siły, jak i samego rozwiązania.
Pojęcie osobliwości w skończonym czasie (zwanej potocznie „blow-up”) oznacza sytuację, w której gładkie rozwiązanie w pewnym momencie przestaje być regularne, a kluczowa wielkość fizyczna, jak gradient prędkości, dąży do nieskończoności.
Istotnym elementem analizy jest podział na wersję wymuszoną i niewymuszoną równań. Równania wymuszone (forced) zawierają zewnętrzny człon siłowy \(f(x,t)\), reprezentujący np. sztuczne źródło energii (np. nawiew wentylatora). Równania niewymuszone (unforced) opierają się wyłącznie na naturalnej dynamice płynu wynikającej z warunku początkowego.
Sformułowanie problemu milenijnego dopuszcza nieograniczoną przestrzeń euklidesową R^3 oraz trójwymiarowy torus T^3 jako przestrzenie równorzędne.
Warto też wspomnieć niuans „operacyjny”. Ze względu na to, że duże modele językowe mają skłonność do generowania przekonująco wyglądających wyników zawierających subtelne luki lub błędy, bezwzględnym warunkiem pewności dowodu jest jego formalna weryfikacja w programie Lean, będącym asystentem dowodzenia. OpenAI wykorzystało model GPT-6 Astra właśnie do przeprowadzenia tej formalnej weryfikacji w kodzie. Korzystają z niego także do weryfikacji swoich dowodów Buckmaster i Alpöge.
Podejście Córdoby i Martíneza-Zoroi
Przełom w podejściu do problemu zawdzięczamy hiszpańskim matematykom z ICMAT, Diego Córdobie oraz jego doktorantowi Luisowi Martínezowi-Zoroi. Podkreśla to wielokrotnie Buckmaster. W przeciwieństwie do większości badaczy, Hiszpanie dostrzegli w zastosowaniu wariantu wymuszonego (z członem zewnętrznej siły w równaniu) furtkę do stopniowego konstruowania osobliwości w skończonym czasie.
Opracowali oni metodę polegającą na budowaniu rozwiązania etapami jako nieskończonego ciągu „warstw”, z których każda z osobna jest regularnym rozwiązaniem, a dopiero ich suma w granicy generuje osobliwość. Program ten opisał w swoim wpisie na blogu wybitny matematyk i laureat Medalu Fieldsa, Terence Tao. Córdoba i Martínez-Zoroa uzyskali pierwotnie osobliwość z siłą nieregularną.
Paradoks „łatwiejszego” wariantu
Paradoks w dotychczasowych badaniach nad równaniami Naviera-Stokesa polega właśnie na tym, że przez lata większość matematyków traktowała obecny w równaniu człon siły zewnętrznej \(f(x,t)\) jako mało istotny detal techniczny, zakładając, iż ewentualna osobliwość powinna wyglądać identycznie z siłą zewnętrzną, jak i bez niej. Badacze formułowali problem bez tego członu i skupiali się na wersji niewymuszonej.
Dopiero przełomowy pomysł Diego Córdoby i Luisa Martíneza-Zoroi ujawnił, że wariant wymuszony jest w rzeczywistości „łatwiejszym” podejściem do zaatakowania problemu. Dostrzegli oni w członie siły zewnętrznej swoistą dźwignię: swoboda w doborze \(f\) pozwala badaczowi precyzyjnie „popchnąć” rozwiązanie ku osobliwości i zaprojektować sekwencję kroków prowadzącą do powstania osobliwości w skończonym czasie.
To, że układ wymuszony daje taką przewagę, stało się widoczne dopiero z perspektywy ich odkrycia, co znowu zauważył sam Buckmaster. Wcześniej nikt nie próbował posiłkować się dodatkowym członem do zaprojektowania takiej sekwencji. Wykorzystanie wymuszenia nie jest przy tym żadnym uproszczeniem ani sztuczką omijającą problem. Warianty z gładką siłą (opcje C i D sformułowania Feffermana) stanowią jedną z dwóch oficjalnie uznawanych przez Clay Mathematics Institute dróg do pełnego rozstrzygnięcia problemu milenijnego.
Tristan Buckmaster i Levent Alpöge podchwycili i pociągnęli dalej tę konkretną ścieżkę badawczą. Korzystając z pomocy modeli LLM, wykonali kluczowy krok naprzód, rozszerzając wcześniejszy wynik hiszpańskich badaczy z siły nieregularnej na gładką siłę zewnętrzną oraz udowadniając powstawanie osobliwości dla równań Eulera oraz hipodyssypatywnego wariantu równań Naviera-Stokesa (tj. słabo rozpraszającego energię, a więc wariantu w którym lepkość cieczy i związane z nią wygaszanie energii są słabsze niż w standardowym modelu Naviera–Stokesa).
Podejrzenia Buckmastera
Podejrzenia Buckmastera co do możliwości skopiowania ich prac pojawiły się w obliczu chronologii wydarzeń, przebiegu bezpośredniej komunikacji z przedstawicielami OpenAI i właśnie wyboru owego scenariusza „wymuszonego” Naviera-Stokesa.
Po tym, jak 3 września w środowisku matematyków rozeszły się wieści, że informacje o ich postępach mogły dotrzeć do Open AI, Buckmaster napisał bezpośrednio do badacza z OpenAI, uzyskując zapewnienie o chęci uniknięcia wyścigu oraz ofertę mocy obliczeniowej. Jednak podczas rozmów w niedzielę 6 września Sébastien Bubeck z OpenAI poinformował go, że ich model wygenerował już 100-stronicowy dowód dla wymuszonego Naviera-Stokesa w (R^3) i (T^3) przy użyciu gładkiej siły.
Utrzymywano, że model działał z bardzo małym udziałem człowieka, choć w trakcie rozmowy wyszło na jaw, że nad sprawą pracował cały zespół z udziałem 10 000 agentów, a kluczowy prompt wysłano dopiero w ciągu ostatnich kilku dni. A więc – właśnie po dotarciu do OpenAI informacji o pracach badaczy. Czy dotarła również informacja o wyborze nietypowej ścieżki rozwiązania problemu?
Na pytanie o dostęp modelu do ich prywatnych sesji w Codex Buckmaster uzyskał odpowiedź, że model nie sprawdza danych użytkownika. Lecz zapytany o trening modelu na tych danych rozmówca uchylił się od odpowiedzi. Przedstawiciele OpenAI złożyli natomiast Buckmasterowi propozycję wspólnej publikacji lub napisania artykułu z uznaniem wyniku OpenAI, żądając przy tym dwukrotnie usunięcia Leventa Alpögego z listy autorów z powodu jego zatrudnienia w konkurencyjnym Anthropic. Gdy Buckmaster odmówił i zapowiedział publiczne ujawnienie sprawy, Bubeck zapytał: „Po co miałbyś rujnować sobie karierę?”, dodając: „Jeśli nie chcesz, żebym był miły, to nie muszę być miły”. Próbowano również kontaktować się z samym Alpögem za plecami Buckmastera, sugerując, że ten nie działa racjonalnie.
Głównym źródłem podejrzeń matematyka pozostaje fakt, że wybór drogi przez gładką siłę (warianty C i D Feffermana) był niszową ścieżką, zapoczątkowaną przez Córdobę i Martíneza-Zoroję, którą podjęli wraz z Alpögem bez ogłaszania tej informacji. Stąd trudno mu uwierzyć, by model OpenAI trafił na nią w ciągu kilku dni całkowicie samodzielnie, bez właściwego promptu.
Problem milenijny rozwiązany, pojawia się problem etyczny?
OpenAI deklaruje, że ich system wyprodukował dowód analityczny oraz formalizację w Lean wykazujące, że początkowo gładki płyn rozwija osobliwość w skończonym czasie pod wpływem gładkiej siły zewnętrznej. Firma twierdzi, że rozstrzyga to problem milenijny Naviera-Stokesa poprzez spełnienie wariantów C i D oficjalnego sformułowania Feffermana z Clay Mathematics Institute, przedstawiając rozwiązanie jako wir spiralnie zwężający się i wydłużający przy zachowaniu skończonej energii.
Kwestia tego, czy problem został formalnie rozwiązany, pozostaje otwarta. Warianty C i D stanowią wprawdzie jedną z oficjalnie akceptowanych dróg rozstrzygnięcia problemu, lecz obecnie jest to wyłącznie niezweryfikowana deklaracja samej firmy. Weryfikacja w Lean potwierdza spójność kodu, ale nie gwarantuje np. poprawnego sformułowania definicji matematycznych w języku programowania, co wymaga gruntownego zbadania 100-stronicowego dowodu przez społeczność akademicką. Ponadto samo OpenAI zastrzegło, że nie zamierza ubiegać się o Nagrodę Millenijną, co wskazuje, że również oni nie traktują tego procesu jako formalnie zakończonego.
Ogłoszenie OpenAI wywołało entuzjazm, który przerodził się w oburzenie i falę krytyki w mediach oraz społeczności naukowej po ujawnieniu publikacji oświadczenia Tristana Buckmastera i nagłośnieniu jej przez artykuł w New Scientist.
Gary Marcus na swoim Substacku ocenił to wydarzenie jako przejaw niepokojącego wzorca zachowań firmy, wskazując na ryzyko przywłaszczania ludzkiej pracy wprowadzanej do narzędzi AI. Komentatorzy z czasopism MIT Technology Review, Axios oraz Forbes zwracają uwagę, że sytuacja ta obnaża kryzys zaufania i problem własności intelektualnej, gdy dostawca narzędzi takich jak Codex staje się jednocześnie konkurentem swoich użytkowników. Przypadek ten zmusi zapewne firmy i partnerów badawczych do żądania twardych gwarancji, że ich dane nie zasilą pętli treningowych modeli bez ich zgody.
W konsekwencji OpenAI zamiast radości z triumfu oraz demonstracji siły swoich modeli (wewnętrzny, „anonimowy” model jest przecież potężniejszy niż ostatnio opublikowana Astra) zyskało poważny kryzys wizerunkowy. Oskarżenia o nieetyczną komunikację, naruszenie poufności i próbę przejęcia ludzkich odkryć sprawiają, że trudno chyba aby dziś OpenAI w pełni mogło cieszyć się ze wszystkich efektów swojej próby rozwiązania problemu równań Naviera-Stokesa.
